Raisonnement par disjonction de cas

Méthode

On considère une propriété qui dépend d'une variable. On veut démontrer cette propriété.
Effectuer un raisonnement par disjonction de cas, c'est séparer le raisonnement suivant les valeurs que peut prendre cette variable : on étudie tous les cas possibles en faisant en sorte de restreindre le nombre de cas à étudier.

Exemple

Lucie fait des achats dans un magasin. Elle s'est donné la contrainte de ne pas dépenser plus de \(75\) euros. Le magasin propose des réductions suivant la dépense des clients :

• si le client dépense moins de \(30\) euros, il ne bénéficie d’aucune réduction et paie le montant total ;
  
• si le client dépense entre \(30\) et \(60\) euros, il bénéficie d’une réduction de \(20~\%\) ;
  
• si le client dépense plus de \(60\) euros, il bénéficie d’une réduction fixe de \(15\) euros.
  

On souhaite montrer que Lucie ne paiera jamais plus de \(60\) euros après réduction. On fait l'hypothèse que Lucie n'a pas regardé les réductions avant d'effectuer ses achats et achète en fonction de ses besoins.

On appelle \(x\) le montant des achats avant réduction, et on a trois cas à traiter.

• Si \(x<30\), Lucie ne bénéficie d'aucune réduction et donc elle paie \(x\) euros mais \(x\) étant inférieur à \(30\), il est également inférieur à \(60\).
• Si \(30\leqslant x\leqslant60\), Lucie paie \(0{,}8x\) euro, \(\left(1-\dfrac{20}{100}\right)=0{,}8\) étant le coefficient multiplicateur associé à une baisse de \(20~\%\). Ainsi, dans ce cas, elle paie donc au maximum \(60\times0{,}8=48\) qui est bien inférieur aux \(60\) euros annoncés au départ.
  
• Si \(x>60\), Lucie bénéficie d'une remise fixe de \(15\) euros. Néanmoins, n'ayant que \(75\) euros à dépenser au maximum, elle paie donc au maximum \(75-15=60\).
  Ainsi, dans ce cas, elle paie au plus \(60\) euros.
  

En conclusion, dans les trois cas qui peuvent se présenter, le montant total des achats de Lucie ne dépasse pas \(60\) euros. Lucie paiera au maximum \(60\) euros.